徐氏乘法算法

有次數考,監考老師見一個孩子未帶草紙。但兩位數三位數的乘法或者平方,都可直接寫出答案。老師頗為驚奇。原來這個孩子掌握了一個不同的免草紙直接算法。這里給大家分享一下。大家知道,關于速算的各種研究和算法層出不窮。電視上《最強大腦》中的少年天才表演更令人咂舌。但這些需要記憶大量口訣,需要經過專業訓練,一旦脫離這種環境,慢慢長大,很可能這些口訣都忘了。從教育的成本和成效來說并不提倡如此。當然,市面上還流行一些特別數的簡便運算。比如十位數相同,個位數互補;或者個位數相同,十位數互補;或者尾數是5的兩位數相乘或乘方運算。

這些雖簡便,但是日常數字哪有這么多巧合?再加上遇見不同的數,要記住不同的規則,少的還好,一旦多了,學生一開始記住了,但是后來用得少又把這些規則給忘了。有沒有一種不用豎列式直接看著數字就能計算的規則呢?有!我將之稱為徐氏視算。根據學生學業的特點,真正脫離形象的口算是沒有的。一般的計算也包括考試都是以書面呈現。只要數字呈現出來,我們就能夠根據這些數字直接寫出答案,而不用草紙寫豎列式。當然這需要像豎列式規則一樣,你必須記住這種規則,而一旦你熟練應用了,那就是一輩子的事兒。

我們結合實例講一下,這樣比較清楚。比如我們計算38×74,我們可以直接在等號后面間隔幾個字符先寫下末位,比如該題的計算應該是最后一位倆數相乘四八32,將末位數的2,直接寫下。得數前面的3當成進位記心里。

倒數第二位呢,采取對稱兩組數字交叉相乘,然后求和并加上剛才的進位3,即7×8+3+3×4=71,仍然將得數末位的1寫下,將7當成進位記心里。這里大家注意到加上進位3是在7×8之后,這樣的好處是縮短進位3在腦海里時間,減少忘記進位數的概率。

那倒數第三位呢,在本題中就剩最前面一位沒有相乘了,將兩個數相乘,再加上剛才的進位7,即3×7+7=28,這個數已計算完,得數直接可以寫下。因此答案是2812。我們看看這樣計算的特點是什么?它符合了金字塔對稱的特點。也就是說最末一位數是兩個乘數的最后一位相乘計算得出,只有一組數的運算。倒數第二位數是兩個乘數的個位和十位分別交叉相乘的和,是兩組數的運算。因為這個題是兩位數之間的計算,因此最高也就是兩組交叉相乘。那么倒數第三位就又變成了一組數的相乘。從得數格式上來說就相當于121格式。為了讓大家看得更清楚,下面我們再推一下三位數之間的乘法運算。這里就不再一張張圖來分解表示了,分別用不同的顏色表示不同的步驟。當然三位數乘三位數,它的得數特點是12321格式。中間的數字表示是幾組數相乘的和。雖然圖解看起來紛亂些,實際上很有規律。當涉及到兩組數、三組數相乘,分別是按照數位的內外對稱位置完成相乘的。

如312×276,最后一位是2x6等于12,寫下末位2,心中記住進位1。倒數第二位是原數當中的后兩位12和76對稱相乘再求和加進位1。因此是1×6+2×7+1=21,因此寫下末位的1,心中記住2。倒數第三位則對應三位數分別對稱相乘再求和加進位2,也就是圖示的褐色部分。也就是3x6+1x7+2x2+2=31,然后寫下末位的1,心中記住3。下面是倒數第四位,剛才我們說的得數的格式是12321。因此到了倒數第四位的時候,剩下前兩位數31和27對乘了。也就是3x7+1x2+3=26,寫下末位6,心中記住2。最后是倒數第五位,就剩下一位3和2相乘了,因此3x2+2=8,到這里就算完了,直接把8寫下即可,因此得數是86112。我們只需要記住,我們算的對稱數位相乘的組數是1234……4321即可,而且是從后面向前面逐漸運算,像蟲子的一次向前蠕動。那么遇到四位數乘三位數或者是三位數乘二位數又或者四位數乘兩位數怎么算呢?我們只需要把空余不夠的位置看做零就行了。別一看好像挺繁瑣,其實你理解了規則非常簡單,對于四年級以上的小學生來說,這種方法是比較快捷的。這種運算就如教科書一樣,我們小時候都學過多位數乘多位數豎列式規則,而且至今難忘,那么這種徐氏視算規則也會終生受用。

那么我們把這種方法再套用上面特殊數的運算時,就發現更為快捷。很多亂七八糟的規則和巧算都不用再記了。

除此外我也導出了乘方運算視算方法,考慮到經常使用平方,這里再給大家分享下。平方運算在印度甚至要求背誦乘法表到19×19等于361,我們這里個別老師也會有這種要求。之所以背誦無非是為了提高運算速度,那么掌握了以下方法就不用再頭疼了。

 我們看一下23的平方如何求?很簡單。得數最末一位就是23的最后一位3的平方。倒數第二位呢,將自身數對稱相乘再乘以右上角的2(其實是兩組相同的數,所以要乘兩倍,這里給他化為視算方式,因此乘以上面的冪數),也就是2x3x2=12,由于前面3平方沒進位,這里不用加。寫下2,心中記下進位1。最后一位呢,就是首位2的平方,再加上進位1,就是5。答案就是529。下面再看看三位數的平方運算。

這個運算分成五個步驟。倒數第一位就是用末位數的平方,因為只有一位數沒有配對的相乘數,而這是平方運算,因此就需要自己乘自己。也就是2的平方得4,沒有進位直接寫下4。倒數第二位呢,得用后兩位數相乘再乘以2,也就是3x2x2=12,寫下2心中記住進位1。倒數第三位呢,這時候需要處理三位數,由于中間位3沒有對稱數配對,所以需要將3做平方處理,也就是9。然后將對稱的第一位4和第三位2相乘再乘以二,然后求和并加進位。也就是4x2x2+3平方+1=26。然后寫下6,記住進位2。然后是倒數第四位,本著12321的原則,現在取前兩位4和3計算,然后加上進位,即4x3x2+2=26,繼續寫下6,心中記住進位2。最后倒數第五位,仍舊是本著12321原則,這時只剩下首位4沒計算,由于它沒有配對,因此也需要自己乘自己,即4的平方等于16,再加上進位數2,得到18,直接寫下計算完畢。

當然四位數的平方運算,以此類推。有興趣的朋友可以嘗試推算一下,只要記住原則,它的得數是1234321結構,遇到單獨的數就乘自己,也就是做它的平方。遇到關于中間對稱的數就分別相乘再乘以2,最后求和再加進位就得到相應數位的數,逐步從后向前類推,最終得出得數。

當你能熟悉以上規則,并且具有一定的兩三位數加法口算的基礎,這套徐氏視算將為你的數學錦上添花。

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